[CALCULO 1 - UNIVATES] - Sinas e Concavidades de Funções

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES

CÀLCULOI - SEMESTRE A / 2011

CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI

CONCAVIDADE DE FUNÇÕES

            Uma curva tem concavidade voltada para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.

            Uma curva tem concavidade voltada para cima, quando sua tangente se move em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.

SINAL DA SEGUNDA DERIVADA

            Se f”(x) > 0 quando  a< x < b  então f tem concavidade para cima em  a< x < b.

            Se f“(x) < 0 quando a <x <b então f tem concavidade para baixo em a < x <b.

PONTOS DE INFLEXÃO

             O ponto no qual ocorre a mudança da concavidade da função chama-se ponto de inflexão.

  

CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÃO UTILIZANDO A PRIMEIRA
E SEGUNDA DERIVADA

1º PASSO – Calcula-se f ‘(x) e as coordenadas x dos pontos críticos da primeira derivada, resolvendo a equação em x e colocam-se esses pontos no gráfico.

2º PASSO - Calcula-se a derivada de segunda ordem f “(x) e as coordenadas dos pontos críticos de 2º ordem resolvendo a equação em x e coloca-se no gráfico.

3º PASSO – Usa –se as coordenadas dos pontos críticos de 1º e 2º ordem para dividir o eixo x em intervalos e observam-se os sinais das derivadas em cada um dos intervalos.

4º PASSO - Constrói-se o gráfico conforme a tabela a seguir:

EXERCÌCIO 1

Determine onde f(x) = x⁴+8x³+18x²-8 é crescente, ou decrescente, onde tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Calcule os extremos relativos e pontos de inflexão e construa o gráfico correspondente.

TESTE DA SEGUNDA DERIVADA

            Sendo f’ (a) = 0

            Se f”(a) > 0, f possui mínimo relativo em x=a
            Se f”(a) < 0, f possui máximo relativo em x=a
            Se f”(a) = 0, f pode possuir máximo ou mínimo relativos ou não possuir extremos elativos em x =a.

             EXERCÍCIO 2

            Use o teste da derivada segunda para verificar a existência de máximos ou mínimos
relativos para f(x) =2x³ + 3x² -12x -7