CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I –ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
SEMESTRE A/2011 - PROF. DRA. ANA CECÌLIA TOGNI
EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS
1) Para cada uma das funções a seguir, encontre a derivada e sua unidade de medida:
a) = 0,0676t +6,6104 p é o preço em reais e t é o tempo em meses.
b)Q = -2p +10 q é a demanda (unidades) e p é o preço em reais.
c) P = -3q2 +90q +525 P é a produção medida em quilogramas e q é a quantidade de fertilizante (g/m2)
d) P = -q2 +8q +9 p é a produção em unidades e q é a quantidade de insumo em quilogramas.
e)V = -0,7q2 +5,6 q +6,3 v é a venda em unidades e q é a quantidade de insumo em quilogramas.
f)Cu = 240 +50 Cu é o custo unitário em reais e q é a quantidade em unidades Q
g) v =250 v é a venda em milhares de unidades e t é o tempo em meses.
1 + 500 .0,5t
h) v = t2 – 6t +12 v é o valor de uma ação em reais e t é o tempo (dia).
t2 -6t +10
i)M = 5.000 .1,03n M é o montante em reais e n é o período (mês).
2) Utilize a regra da cadeia em cada um dos casos:
a) y = ( 5x2 +2x )4
b) y = e5x
c) M = 240 e-0,5t
3) Seja a função y = - 1_ x3 +3x2 -5x, encontre y’ e faça no mesmo sistema
3
de eixos os gráficos de y e y’.
4)Explique com suas palavras:
a) Taxa média de variação
b)Taxa Instantânea de variação
5)Calcule a primeira e segunda derivada para as funções:
a) y = 3x2-10x +5 x Є R
b) y = sen x 0≤x ≤ π/2
c) y = y = 2x xЄ R
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sexta-feira, 10 de junho de 2011
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Sinas e Concavidades de Funções
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÀLCULOI - SEMESTRE A / 2011
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATASPROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
CONCAVIDADE DE FUNÇÕES
Uma curva tem concavidade voltada para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.
Uma curva tem concavidade voltada para cima, quando sua tangente se move em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorrer a curva da esquerda para a direita.
SINAL DA SEGUNDA DERIVADA
Se f”(x) > 0 quando a< x < b então f tem concavidade para cima em a< x < b.
Se f“(x) < 0 quando a <x <b então f tem concavidade para baixo em a < x <b.PONTOS DE INFLEXÃO
O ponto no qual ocorre a mudança da concavidade da função chama-se ponto de inflexão.
CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÃO UTILIZANDO A PRIMEIRA
E SEGUNDA DERIVADA
E SEGUNDA DERIVADA
1º PASSO – Calcula-se f ‘(x) e as coordenadas x dos pontos críticos da primeira derivada, resolvendo a equação em x e colocam-se esses pontos no gráfico.
2º PASSO - Calcula-se a derivada de segunda ordem f “(x) e as coordenadas dos pontos críticos de 2º ordem resolvendo a equação em x e coloca-se no gráfico.
3º PASSO – Usa –se as coordenadas dos pontos críticos de 1º e 2º ordem para dividir o eixo x em intervalos e observam-se os sinais das derivadas em cada um dos intervalos.
4º PASSO - Constrói-se o gráfico conforme a tabela a seguir:
EXERCÌCIO 1
Determine onde f(x) = x4+8x3+18x2-8 é crescente, ou decrescente, onde tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Calcule os extremos relativos e pontos de inflexão e construa o gráfico correspondente.
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA
Sendo f’ (a) = 0
Se f”(a) > 0, f possui mínimo relativo em x=aSe f”(a) < 0, f possui máximo relativo em x=a
Se f”(a) = 0, f pode possuir máximo ou mínimo relativos ou não possuir extremos elativos em x =a.
Use o teste da derivada segunda para verificar a existência de máximos ou mínimos
relativos para f(x) =2x3 + 3x2 -12x -7
relativos para f(x) =2x3 + 3x2 -12x -7
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Máximo e Mínimos - Concavidades
CENTRO UNIVERSITÁRIOUNIVATES
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
Um máximo relativo de uma função é o ponto máximo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. (É um pico).
Um mínimo relativo é o ponto mínimo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele. (É um fundo de vale).
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função é crescente, quando seu gráfico “cresce” à medida que aumenta de valor. Caso contrário a função é decrescente.
SINAL DA DERIVADA
É possível reconhecer quando uma função diferencial é crescente ou decrescente, através do sinal de sua derivada, pois esta é o coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva de f.
Assim:
Se f’(x) > 0 quando a <x < b, então f é crescente para a < x < b.
Se f’ (x) < 0 quando a < x < b, então, f é decrescente para a < x < b.
PONTOS CRÍTICOS
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos onde a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. Os pontos assim definidos são chamados críticos.
(REPRESENTAR OS PONTOS CRÍTICOS)
COMO USAR DERIVADAS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Seguem-se os seguintes passos:
1º- Calcula-se a derivada f’(x).
2º- Calculam-se as coordenadas dos pontos críticos, igualando f’(x) a zero e resolvendo a equação em x. Devem-se incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitui-se esses valores de x na função f(x), obtendo-se assim as coordenadas y dos pontos críticos.
3º- Colocam-se os pontos críticos no gráfico. Estes são os únicos pontos onde os extremos relativos podem existir.
4º- Determina-se onde a função é crescente e decrescente, verificando o sinal da derivada nos intervalos cujos extremos são as coordenadas x dos pontos críticos.
5º- Contrói-se o gráfico de tal forma que “cresça” nos intervalos onde a derivada é positiva e “decresça” nos intervalos onde a derivada é negativa e não “cresça” e nem “decresça” quando a derivada é nula.
EXEMPLO
Construir o gráfico da função f(x) =2x3 +3x2-12x -7
MÁXIMOS E MINÍMOS ABSOLUTOS
Um intervalo fechado é um intervalo da forma a ≤ x ≤ b, que é o intervalo que contem as extremidades. Uma função continua num intervalo fechado possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer nos extremos x=a ou x = b.
EXEMPLOS:
(REPRESENTAR OS MAXIMOS E MINIMOS ABSOLUTOS)
COMO LOCALIZAR E IDENTIFICAR EXTREMOS ABSOLUTOS?
1º- Calculam –se as coordenadas de todos os pontos críticos de f no intervalo a≤ x≤b.
2º - Calcula-se f(x) nesses pontos críticos e nas extremidades x =a e x=b.
3º-Selecionam-se os maiores e menores valores de f(x) obtidos no 2ºpasso e assim se obtém respectivamente o máximo e o mínimo absoluto.
EXEMPLO:
Calcular o máximo e o mínimo absolutos da função f(x) = 2x3 +3x2 -12x -7
OBSERVAÇÃO
Para calcular extremos absolutos de uma função continua em intervalos não fechados deve-se ainda calcular o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo. No entanto, antes é preciso saber que a função realmente possui extremos relativos nesse intervalo. Uma boa maneira de descobrir é verificar através da derivada onde à função é crescente, onde é decrescente e depois construir o gráfico correspondente.
EXEMPLO:
Quando q unidades de certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = 3q2+5q +75. Quando será menor o custo médio de produção por unidade?
Respostas em breve.
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
MÁXIMOS E MINÍMOS RELATIVOS
Um máximo relativo de uma função é o ponto máximo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. (É um pico).
Um mínimo relativo é o ponto mínimo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele. (É um fundo de vale).
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função é crescente, quando seu gráfico “cresce” à medida que aumenta de valor. Caso contrário a função é decrescente.
SINAL DA DERIVADA
É possível reconhecer quando uma função diferencial é crescente ou decrescente, através do sinal de sua derivada, pois esta é o coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva de f.
Assim:
Se f’(x) > 0 quando a <x < b, então f é crescente para a < x < b.
Se f’ (x) < 0 quando a < x < b, então, f é decrescente para a < x < b.
PONTOS CRÍTICOS
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos onde a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. Os pontos assim definidos são chamados críticos.
(REPRESENTAR OS PONTOS CRÍTICOS)
COMO USAR DERIVADAS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Seguem-se os seguintes passos:
1º- Calcula-se a derivada f’(x).
2º- Calculam-se as coordenadas dos pontos críticos, igualando f’(x) a zero e resolvendo a equação em x. Devem-se incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitui-se esses valores de x na função f(x), obtendo-se assim as coordenadas y dos pontos críticos.
3º- Colocam-se os pontos críticos no gráfico. Estes são os únicos pontos onde os extremos relativos podem existir.
4º- Determina-se onde a função é crescente e decrescente, verificando o sinal da derivada nos intervalos cujos extremos são as coordenadas x dos pontos críticos.
5º- Contrói-se o gráfico de tal forma que “cresça” nos intervalos onde a derivada é positiva e “decresça” nos intervalos onde a derivada é negativa e não “cresça” e nem “decresça” quando a derivada é nula.
EXEMPLO
Construir o gráfico da função f(x) =2x3 +3x2-12x -7
MÁXIMOS E MINÍMOS ABSOLUTOS
Um intervalo fechado é um intervalo da forma a ≤ x ≤ b, que é o intervalo que contem as extremidades. Uma função continua num intervalo fechado possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer nos extremos x=a ou x = b.
EXEMPLOS:
(REPRESENTAR OS MAXIMOS E MINIMOS ABSOLUTOS)
COMO LOCALIZAR E IDENTIFICAR EXTREMOS ABSOLUTOS?
1º- Calculam –se as coordenadas de todos os pontos críticos de f no intervalo a≤ x≤b.
2º - Calcula-se f(x) nesses pontos críticos e nas extremidades x =a e x=b.
3º-Selecionam-se os maiores e menores valores de f(x) obtidos no 2ºpasso e assim se obtém respectivamente o máximo e o mínimo absoluto.
EXEMPLO:
Calcular o máximo e o mínimo absolutos da função f(x) = 2x3 +3x2 -12x -7
OBSERVAÇÃO
Para calcular extremos absolutos de uma função continua em intervalos não fechados deve-se ainda calcular o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo. No entanto, antes é preciso saber que a função realmente possui extremos relativos nesse intervalo. Uma boa maneira de descobrir é verificar através da derivada onde à função é crescente, onde é decrescente e depois construir o gráfico correspondente.
EXEMPLO:
Quando q unidades de certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = 3q2+5q +75. Quando será menor o custo médio de produção por unidade?
Respostas em breve.
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Problemas de otimização
CENTRO UNIVERSITÁRIOUNIVATES
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS –SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
1) Um cabo de eletricidade ligará uma usina hidrelétrica situada à margem de um rio de 900metros de largura a uma fábrica situada na outra margem do rio, 3000 metros abaixo da usina. O custo de instalação do cabo através do rio é de R$500,00 por metro, enquanto que em terra custa R$400,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de instalar o cabo?
2) A prefeitura municipal de Lajeado planeja construir uma área de recreação junto a BR-386. A área retangular, com 5000 m2, será cercada nos três lados não adjacentes a estrada. Qual será a menor quantidade de cerca necessária?
3) Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100metros, cuja área é a maior possível.
4) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com maior volume?
5) Encontre o raio e a altura de um cilindro circular reto com o maior volume, o qual pode ser inscrito em um cone circular reto com 10cm de altura e 6 cm de raio.y
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Técnicas de diferenciação - calcular derivadas
Centro
Alguns teoremas importantes que
Universitário UNIVATES
Cursos: Engenharias e Ciências Exatas
Cálculo I – Semestre A/2011
Professora Dra.Ana Cecília Togni
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO
permitem que se calcule a derivada de forma mais simples são os seguintes:
T1) A derivada de uma função constante é
0, isto é, se c for um número real qualquer então: f’(c) = 0.
0, isto é, se c for um número real qualquer então: f’(c) = 0.
T2) (Regra da Potência). Se n for um
número inteiro positivo e f( x) = xn,
então
número inteiro positivo e f( x) = xn,
então
f’(x) = n xn-1
T3) Se f for diferenciavel
em x e c for um numero real qualquer então cf é
também diferenciável em x e se expressa assim : f’(x)= cf’
em x e c for um numero real qualquer então cf é
também diferenciável em x e se expressa assim : f’(x)= cf’
T4) (Derivadas das somas e Diferenças). Se
f e g forem diferenciáveis em x então f+g e f-g também o são ou seja :
f e g forem diferenciáveis em x então f+g e f-g também o são ou seja :
[f(x) + g(x) ]’ =f ’(x) + g’(x)
[f(x) – g(x)]’ = f’(x) – g’(x)
T5) (Regra do Produto) Se f e g forem
diferenciáveis em x então o produto f. g também o é. Ou seja:
diferenciáveis em x então o produto f. g também o é. Ou seja:
[f(x). g(x) ] =f(x).g’(x) + g(x).f’(x)
T6) (Regra do Quociente) Se f e g forem
diferenciáveis em x e g’(x) for diferente de zero, então f/g é diferenciável em x e:
diferenciáveis em x e g’(x) for diferente de zero, então f/g é diferenciável em x e:
[f(x)/g(x) =g(x).f’(x)– f(x) g’(x)
[g(x)]2T7)(Regra do Recíproco) Se a função g for diferenciavel em x e g(x) diferente de zero então 1/g é diferenciavel em x e [1/g(x)]’ = g’(x)
[g(x)]2
T8) Se n for qualquer inteiro, então :
[xn]’ = nxn-1T9) (Regra da Cadeia) Se g for diferenciavel no ponto x e f for diferenciavel no ponto g(x), então a composição f e g
também é diferenciavel no ponto x. Além disso se y = f(g(x)) e u =g(x) então y =
f(u) e
também é diferenciavel no ponto x. Além disso se y = f(g(x)) e u =g(x) então y =
f(u) e
dy = dy . du ou f’(u) = y’(u).u’(x)
dx du dx
T10)Derivadas de Funções Trigonométricas
i)Se f(x)= sen x então f’(x) = cosx
ii)Se f(x) = cos x então
f’(x) = - sen x
f’(x) = - sen x
iii) Se f(x) = tgx x então
f’(x) = sec2 x
f’(x) = sec2 x
iV) Se f(x) = sec x então
f’(x)= secx .tgx
f’(x)= secx .tgx
v)Sef(x) = cotg x então f’(x) = - cossec2 x
vi)Se f(x) = cossec x então
f’(x) = -cossecx.cotgx
f’(x) = -cossecx.cotgx
vii)Se f(x) = arc senx então f’(x ) = 1
√1– x2viii) Se f(x) = arc cos x então f’(x) = - 1
√1 –x2
ix)Se f(x) = arc tgx então f’(x) = 1
1 + x2
x) Se f(x) = arc cotg então f’(x) = - 1
1 + x2
xi)Se f(x) = arc séc| x | então f’(x) = 1
x√x2 -1
xii)Se f(x) = arc cossec |x| então f’(x) = - 1
x√x2-1Observação:As duas últimas formulas não se referem a
funções elementares, mas cada uma delas
resume duas funções elementares para x >0 e x<0
funções elementares, mas cada uma delas
resume duas funções elementares para x >0 e x<0
T11)Derivadas das Funções logarítmicas
T12)Se f(x)= ln |
x| então f’(x) = 1 para x ≠ 0
x| então f’(x) = 1 para x ≠ 0
x
No caso de f(x) ser função composta fica assim: f(x)
= ln u então
f’(x ) = 1 . du
= ln u então
f’(x ) = 1 . du
u dx
T13) Se f(x) =loga
x então f’(x) = 1
x então f’(x) = 1
x ln a
No caso de f(x) ser composta fica assim: f(x) = loga u = 1 . du
u ln a dxT14)Derivada de funções exponenciais
i) Se f(x) = ax
então f’(x) = ax.lna
então f’(x) = ax.lna
No caso de função composta fica assim: f(x) = au então f’(x) = au.lna.du
dx ii) Se f(x)= ex então f’(x) = ex
Quando for
função composta fica assim: f(x) = eu então f’(x) = eu.du
dxfunção composta fica assim: f(x) = eu então f’(x) = eu.du
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Exercícios sobre derivadas
Centro Universitário UNIVATES
CÁLCULO I
CURSOS: ENGENHARIAS e CIÊNCIAS EXATAS
SEMESTRE A/2011
PROFESSORA DRA. ANA CECÌLIA TOGNI
1)Encontre a primeira e segunda derivada para cada uma das funções pela regra da potência:
a) y = -x2 +3
b)s = 5t3 -3t5
c)f(x) =x1/2
d)f(x) =3x-2 -1/x
e)f(t) = -2t-1 +4/t2
2)Utilize a regra do produto para derivar:
a)y = ( 3 –x2)(x3 –x -1)
b)y = ( x-1) ((x2+x +1)
3) Derive pela regra do quociente:
a)y = 2x +5
3x -2
b) y = 2x +1
x2 -1
4)Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos considerados:
a) f(x) = x2 x0 =5
b)f(x) 2x +3 x0= 3
c)f(x) =x2 -5x +6
5)Dada a função C(x) = 0,3 x3 -2,5x2 +20x +200, obtenha:
a)O custo marginal
b)O custo marginal para x=5 e a interpretação do resultado.
6)Se a função demanda for p = 20 -2x, obtenha a receita marginal.
7)Estima-se que daqui a x meses a população de um município será P(x) = x2 +20x +20.000
a)Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desse município?
b)Qual será a variação da população no 16ºmês?
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SEMESTRE A/2011
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1)Encontre a primeira e segunda derivada para cada uma das funções pela regra da potência:
a) y = -x2 +3
b)s = 5t3 -3t5
c)f(x) =x1/2
d)f(x) =3x-2 -1/x
e)f(t) = -2t-1 +4/t2
2)Utilize a regra do produto para derivar:
a)y = ( 3 –x2)(x3 –x -1)
b)y = ( x-1) ((x2+x +1)
3) Derive pela regra do quociente:
a)y = 2x +5
3x -2
b) y = 2x +1
x2 -1
4)Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos considerados:
a) f(x) = x2 x0 =5
b)f(x) 2x +3 x0= 3
c)f(x) =x2 -5x +6
5)Dada a função C(x) = 0,3 x3 -2,5x2 +20x +200, obtenha:
a)O custo marginal
b)O custo marginal para x=5 e a interpretação do resultado.
6)Se a função demanda for p = 20 -2x, obtenha a receita marginal.
7)Estima-se que daqui a x meses a população de um município será P(x) = x2 +20x +20.000
a)Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desse município?
b)Qual será a variação da população no 16ºmês?
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Formulas de derivação
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I
PROFESSORA: DRA. ANA CECÌLIA TOGNI
FÓRMULAS DE FATORAÇÃO
Expressão para produtos notáveis
1) Produto da soma pela diferença
(x + y).(x – y) = x² - y²
2) Produto da soma de dois termos
(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2xy + y²)
3) Produto da diferença de dois termos
(x – y) = (x - y).(x - y) = (x² - 2xy + y²)
4) Cubo da soma de dois termos
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
5) Cubo da diferença de dois termos
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
Faça a expansão dos produtos:
a) (3x + 8) = 9x² - 64 Formula (2)
b) (5y – 4)² = 25y² - 40y + 16 Formula (3)
c) (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y² Formula (2)
d) (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - 3b³ Formula (5)
e) (2x + 4y)³ = 8x³ + 48x²y + 96xy² + 64y³ Formula (4)
FORMULAS DE FATORAÇÃO
(1) (x² - y²) = (x + y).(x – y)
(2) x² + 2xy + y² = (x + y).(x + y) = (x + y)²
(3) x² - 2xy + y² = (x – y).(x – y) = (x – y)²
(4) ax² + bx + c = a (x – x(1)).(x – x(2)) esse x(1) e x(2) vai embaixo do x
onde (x(1) e (x(2) são raízes da equação ax² + bx +c = 0
(5) (x³ + y³) = (x + y).(x² - xy + y²)
(6) (x³ - y³) = (x - y).(x² + xy + y²)
(7) x³y + xy³ = xy(x² + y²) ( fatoração colocando termos em evidência
(8) xy + xw + yz + yw = (x + y).(z + w) ( fatoração por agrupamento)
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FÓRMULAS DE FATORAÇÃO
Expressão para produtos notáveis
1) Produto da soma pela diferença
(x + y).(x – y) = x² - y²
2) Produto da soma de dois termos
(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2xy + y²)
3) Produto da diferença de dois termos
(x – y) = (x - y).(x - y) = (x² - 2xy + y²)
4) Cubo da soma de dois termos
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
5) Cubo da diferença de dois termos
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
Faça a expansão dos produtos:
a) (3x + 8) = 9x² - 64 Formula (2)
b) (5y – 4)² = 25y² - 40y + 16 Formula (3)
c) (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y² Formula (2)
d) (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - 3b³ Formula (5)
e) (2x + 4y)³ = 8x³ + 48x²y + 96xy² + 64y³ Formula (4)
FORMULAS DE FATORAÇÃO
(1) (x² - y²) = (x + y).(x – y)
(2) x² + 2xy + y² = (x + y).(x + y) = (x + y)²
(3) x² - 2xy + y² = (x – y).(x – y) = (x – y)²
(4) ax² + bx + c = a (x – x(1)).(x – x(2)) esse x(1) e x(2) vai embaixo do x
onde (x(1) e (x(2) são raízes da equação ax² + bx +c = 0
(5) (x³ + y³) = (x + y).(x² - xy + y²)
(6) (x³ - y³) = (x - y).(x² + xy + y²)
(7) x³y + xy³ = xy(x² + y²) ( fatoração colocando termos em evidência
(8) xy + xw + yz + yw = (x + y).(z + w) ( fatoração por agrupamento)
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Limites e Derivadas
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
DISCIPLINA: CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 4s]?
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 3s]?
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 2,1s]?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, (2+∆t) s] com ∆t≠0?
e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =2s?
2. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece a função: v(t) =t2-4t (v em metros por segundo e t em segundos). Sabe-se que a aceleração média da partícula am =∆v
∆t
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 1s]?
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,5s]?
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,1s]?
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, (∆t)s]?
e) Como você interpretaria fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =0s?
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece a função v(t) = 8t -2 (v em metros por segundo e t em segundos). Determinar a aceleração da partícula no instante t =4s.
4) O movimento de uma partícula é dado pelo seu diagrama horário:
(DESENHAR O DIAGRAMA)
a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2, 2+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t =2s?
5. A velocidade de uma partícula é dada pelo seguinte diagrama:
(DESENHAR O DIAGRAMA)
a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [t0, t0+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t0?
6)Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto (1,1).
Respostas em breve.
DISCIPLINA: CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
INTRODUZINDO LIMITES E DERIVADAS
1. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária s(t) = 3t2 – 5t +2 (s em metros e t em segundos)a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 4s]?
b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 3s]?
c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, 2,1s]?
d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo [2s, (2+∆t) s] com ∆t≠0?
e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =2s?
2. Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece a função: v(t) =t2-4t (v em metros por segundo e t em segundos). Sabe-se que a aceleração média da partícula am =∆v
∆t
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 1s]?
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,5s]?
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, 0,1s]?
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [0s, (∆t)s]?
e) Como você interpretaria fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando ∆t tende para zero?
f) Qual a velocidade da partícula no instante t =0s?
3) Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece a função v(t) = 8t -2 (v em metros por segundo e t em segundos). Determinar a aceleração da partícula no instante t =4s.
4) O movimento de uma partícula é dado pelo seu diagrama horário:
(DESENHAR O DIAGRAMA)
a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2, 2+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t =2s?
5. A velocidade de uma partícula é dada pelo seguinte diagrama:
(DESENHAR O DIAGRAMA)
a) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade média da partícula no intervalo de tempo [t0, t0+∆t]?
b) Qual é a interpretação geométreico-trigonométrica da velocidade instantânea da partícula no instante t0?
6)Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x2 no ponto (1,1).
Respostas em breve.
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Funções exponenciais e logarítmicas
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIVATES
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
DEFINIÇÃO:
A função definida por: f(x) = bx (b > 0 e b≠ 1) é chamada função exponencial de base b e expoente x. O domínio de f é o conjunto dos números reais.
Exemplo:
F(x) = 2x é a função exponencial de base 2. O domínio é o intervalo dado por (- ∞,+∞).
Para alguns valores de x, temos o valor de f(x).
Se x =3 então f(3) = 23 = 8
Se x = -1 então f(-1) = 2-1 = ½
Se x = 2/3 então f(2/3) =22/3 =3√22 = 3√4
Se x = 0 então f(0) = 20 =1
PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
1)bx. by= b x + y
2)bx/by= bx-y
3)(bx)y=bxy
4)(ab)x= axbx
5)(a/b)x= ax/bx
EXERCÍCIOS
1) Encontre os valores das potências em cada caso:
2) Seja f(x) = 22x-1, encontre o valor para f(x) =16.
3) Esboce o gráfico de f(x) =2x e f(x) = (1/2)x nas mesmas coordenadas.
A função exponencial y =bx com b > 0 e b≠ 1, tem as seguintes propriedades:
1) Seu domínio é (- ∞, + ∞).
2) Sua imagem (0, +∞).
3) Seu gráfico passa pelo ponto (0,1).
4) É uma função contínua em (- ∞, +∞).
5) É crescente em (- ∞, +∞) se b> 0 e decrescente em (-∞, +∞) se 0 < b <1
OBSERVAÇÃO
A função exponencial de base b, pode também ser definida pela expressão f(x) = abx onde a é uma constante.
Poe exemplo: f(x) = 10.2x
Funções exponenciais de base e são definidas por f(x) = ex, onde e é um número irracional de valor 2, 7182818...
O valor de e é dado pela expressão
e =
O gráfico de ex é semelhante ao gráfico de bx.
4) Considerando que ea=eb, equivale a=b resolva as equações:
a)ex=e6
b)ex+3=e10
c)ex^2.e-2x=e-1
Definamos primeiramente logaritmo de um número. Ou seja:
y =logb x se e somente se x = by , sendo x > 0.
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) log10 100 =
b) log5 125 =
c)log31/27 =
2) Resolva as equações:
a) log3 x =4
b)log16 4 =x
c)logx8 =3
PROPRIEDADES DOS LOGARÌTMOS:
Se m e n são números positivos então valem:
1) logbm.n= logb m + logb n
2) logbm/n = logbm - logbn
3) logb mn=n logb m
4)logb1 = 0
5) logbb =1
EXERCÍCIO
3) Resolva:
a) log (2.3) =
b) log√7 =
c)ln5/3=
d)log4545=
e)log5 1 =
DEFINIÇÃO
A função definida por
f(x) = logb x (b>0 e b≠ 1) é chamada função logarítmica de base b e seu domínio é o conjunto dos números reais positivos.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica y =logb x ( b> 0 e b≠ 1) possui as seguintes propriedades:
1)Seu domínio (0, +∞)
2)Sua imagem é (- ∞, +∞)
3)Seu gráfico passa pelo ponto (1,0)
4)Ela é continua em (0, +∞)
5)Ela é crescente em (0,+∞) se b> 1 e decrescente em (0,+∞) quando 0<b<1.
EXERCÍCIO
1)Esboce os gráficos de y = log2x e y = log1/2 x nas mesmas coordenadas.
Uma das aplicações importantes das funções exponenciais e logarítmicas é a matemática financeira, principalmente no que se refere à capitalização composta.
Assim lembramos as fórmulas para cálculo de juros e montante composto.
Juros:
J = C [(1 =i)n-1]
Montante
M = C(1 +i)n onde C- capital inicial
M – Montante
J – Juro
i – Taxa Unitária
n – prazo d operação financeira.
1) Quanto tempo levará para que R$ 10.000,00 se transformem em R$15.000,00 se o investimento for aplicado a 8,% ao ano?
2) Qual a taxa mensal que transforma R$22.500,00 em R$43.000,00 em 18meses?
3) Qual é o valor final de uma aplicação de R$5.500,00 em 4 trimestres, se a taxa trimestral for 6,7%.
4) Em quanto tempo a população de uma cidade dobrará se a taxa de crescimento anual for 2% e a população hoje é de 60.000 habitantes.
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
DEFINIÇÃO:
A função definida por: f(x) = bx (b > 0 e b≠ 1) é chamada função exponencial de base b e expoente x. O domínio de f é o conjunto dos números reais.
Exemplo:
F(x) = 2x é a função exponencial de base 2. O domínio é o intervalo dado por (- ∞,+∞).
Para alguns valores de x, temos o valor de f(x).
Se x =3 então f(3) = 23 = 8
Se x = -1 então f(-1) = 2-1 = ½
Se x = 2/3 então f(2/3) =22/3 =3√22 = 3√4
Se x = 0 então f(0) = 20 =1
PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
1)bx. by= b x + y
2)bx/by= bx-y
3)(bx)y=bxy
4)(ab)x= axbx
5)(a/b)x= ax/bx
EXERCÍCIOS
1) Encontre os valores das potências em cada caso:
2) Seja f(x) = 22x-1, encontre o valor para f(x) =16.
3) Esboce o gráfico de f(x) =2x e f(x) = (1/2)x nas mesmas coordenadas.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial y =bx com b > 0 e b≠ 1, tem as seguintes propriedades:
1) Seu domínio é (- ∞, + ∞).
2) Sua imagem (0, +∞).
3) Seu gráfico passa pelo ponto (0,1).
4) É uma função contínua em (- ∞, +∞).
5) É crescente em (- ∞, +∞) se b> 0 e decrescente em (-∞, +∞) se 0 < b <1
OBSERVAÇÃO
A função exponencial de base b, pode também ser definida pela expressão f(x) = abx onde a é uma constante.
Poe exemplo: f(x) = 10.2x
FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e
Funções exponenciais de base e são definidas por f(x) = ex, onde e é um número irracional de valor 2, 7182818...
O valor de e é dado pela expressão
e =
O gráfico de ex é semelhante ao gráfico de bx.
4) Considerando que ea=eb, equivale a=b resolva as equações:
a)ex=e6
b)ex+3=e10
c)ex^2.e-2x=e-1
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Definamos primeiramente logaritmo de um número. Ou seja:
y =logb x se e somente se x = by , sendo x > 0.
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) log10 100 =
b) log5 125 =
c)log31/27 =
2) Resolva as equações:
a) log3 x =4
b)log16 4 =x
c)logx8 =3
PROPRIEDADES DOS LOGARÌTMOS:
Se m e n são números positivos então valem:
1) logbm.n= logb m + logb n
2) logbm/n = logbm - logbn
3) logb mn=n logb m
4)logb1 = 0
5) logbb =1
EXERCÍCIO
3) Resolva:
a) log (2.3) =
b) log√7 =
c)ln5/3=
d)log4545=
e)log5 1 =
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO
A função definida por
f(x) = logb x (b>0 e b≠ 1) é chamada função logarítmica de base b e seu domínio é o conjunto dos números reais positivos.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica y =logb x ( b> 0 e b≠ 1) possui as seguintes propriedades:
1)Seu domínio (0, +∞)
2)Sua imagem é (- ∞, +∞)
3)Seu gráfico passa pelo ponto (1,0)
4)Ela é continua em (0, +∞)
5)Ela é crescente em (0,+∞) se b> 1 e decrescente em (0,+∞) quando 0<b<1.
EXERCÍCIO
1)Esboce os gráficos de y = log2x e y = log1/2 x nas mesmas coordenadas.
Uma das aplicações importantes das funções exponenciais e logarítmicas é a matemática financeira, principalmente no que se refere à capitalização composta.
Assim lembramos as fórmulas para cálculo de juros e montante composto.
Juros:
J = C [(1 =i)n-1]
Montante
M = C(1 +i)n onde C- capital inicial
M – Montante
J – Juro
i – Taxa Unitária
n – prazo d operação financeira.
1) Quanto tempo levará para que R$ 10.000,00 se transformem em R$15.000,00 se o investimento for aplicado a 8,% ao ano?
2) Qual a taxa mensal que transforma R$22.500,00 em R$43.000,00 em 18meses?
3) Qual é o valor final de uma aplicação de R$5.500,00 em 4 trimestres, se a taxa trimestral for 6,7%.
4) Em quanto tempo a população de uma cidade dobrará se a taxa de crescimento anual for 2% e a população hoje é de 60.000 habitantes.
[CALCULO 1 - UNIVATES] - Funções compostas
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CURSOS: ENGENHARIAS – SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
FUNÇÃO COMPOSTA
DEFINIÇÃO
Dadas as funções f e g, a composição de f e g é denotada por fog, é a função definida por (fog)(x) = f(g(x))
O domínio de fog consiste por definição em todo x no domínio de g, para o qual g(x) está no domínio de f.
ESQUEMATIZANDO:
EXERCÍCIOS:
1) Sejam f(x) = x2 +3 e g(x) = √x Encontre:
a) (fog)(x) b) (g0f)(x)
2)Encontre fog(x) e gof(x) e determine seus domínios em cada caso:
a) f(x)= 2x +1 e g(x) =x2 –x
b)f(x) = 2x +1 e g(x) =3
a) h(x) = (x + 1)2
b)h(x) = (x-4)5
c) sen (x3)
4) A receita R de uma empresa é função do preço p da mercadoria que vende pois R =pq, onde q é a quantidade vendida. Sabendo que o preço da mercadoria não é fixo, mas função da quantidade demandada, isto é p = -q/3 +30, como ficará a expressão de R como função de q.
5)A poupança S de um operário depende do salário y que recebe, seu salário por sua vez depende do número de horas extras x que faz por mês.Sabendo que essas dependências são descritas pelas funções S= 0,4y – 300 e y = 1200 + 80x respectivamente, determine a poupança como função do número x de horas extras.
[CALCLULO 1 - UNIVATES] - Definindo funções através de gráficos e exercícios
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CURSO: ENGENHARIAS
DISCIPLINA :CÁLCULO I –SEMESTRE B/2011
PROFESSORA : DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES
1) NOÇÕES BÁSICAS SOBRE PLANO CARTESIANO
Um par ordenado de números é o conjunto formado por dois números em certa ordem. Usamos geralmente a notação (x, y) para indicar o par ordenado,onde x é o primeiro elemento do par e y o segundo elemento.
Ex: (3,5) (-7,10)
COMO REPRESENTAR GEOMETRICAMENTE UM PAR ORDENADO ?
1º)Desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos sua intersecção O como origem para cada um deles;
2º) Marcamos no eixo horinzontal, o primeiro componente do par ordenado;
3º) Marcamos no eixo vertical o segundo componente do par ordenado;
4º)Traçamos pelo primeiro elemento do par ordenado, uma reta paralela ao eixo9 vertical;
5º)traçamos pelo segundo elemento do par, uma reta paralela ao eixo horizontal;
6º)Destacamos a intersecção das retas, chamando-a de P, que é o ponto que representa graficamente o par ordenado (x,y).
O eixo onde se representa o primeiro elemento do par é chamado de eixo das abcissas e o eixo onde se representa o segundo elemento do par ordenado é chamado eixo das ordenadas.
EXERCÍCIOS:
Represente no Plano Cartesiano, os piontos: A=(2,-3) , B=(0,-4), C=(-4,-5), D=(-1,0), E=(0,5), F=(5,4), G=(3,0), H=(-3,2), I =(1/2, 5/2)
Represente no Plano Cartesiano, os piontos: A=(2,-3) , B=(0,-4), C=(-4,-5), D=(-1,0), E=(0,5), F=(5,4), G=(3,0), H=(-3,2), I =(1/2, 5/2)
2)Os pares ordenados (x +2y, 2x-y) e (5,-3) são iguais.Determine x e y.
3)O ponto N de coordenadas (m-2,5), pertence ao eixo das ordenadas. Determine m.
2)COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ?
Em primeiro lugar é preciso conhecer a lei de formação da função e seu domínio. A seguir o procedimento é o seguinte:
1º)Construímos uma tabela na qual aparecem os valores da varia´vel x (variável independente) e os valores do correspondente y, calculados através da lei y =f(x);
2º)Representamos cada par ordenado da tabela por um ponto no plano cartesiano;
3º) Ligamos os pontos construídos no passo anterior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função f(x).
EXERCÍCIOS:
1)Construir o gráfico de y =x+2, com domínio R.
2)Construir o gráfico de y=2 para todo x real.
3)Construir o gráfico de y = x2 com domínio R.
4)Construir o gráfico de y =12/x no domínio R*.
5)Analisar os gráficos construídos .
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