CURSOS: ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
MÁXIMOS E MINÍMOS RELATIVOS
Um máximo relativo de uma função é o ponto máximo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. (É um pico).
Um mínimo relativo é o ponto mínimo do gráfico da função em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele. (É um fundo de vale).
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função é crescente, quando seu gráfico “cresce” à medida que aumenta de valor. Caso contrário a função é decrescente.
SINAL DA DERIVADA
É possível reconhecer quando uma função diferencial é crescente ou decrescente, através do sinal de sua derivada, pois esta é o coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva de f.
Assim:
Se f’(x) > 0 quando a <x < b, então f é crescente para a < x < b.
Se f’ (x) < 0 quando a < x < b, então, f é decrescente para a < x < b.
PONTOS CRÍTICOS
Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos onde a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. Os pontos assim definidos são chamados críticos.
(REPRESENTAR OS PONTOS CRÍTICOS)
COMO USAR DERIVADAS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Seguem-se os seguintes passos:
1º- Calcula-se a derivada f’(x).
2º- Calculam-se as coordenadas dos pontos críticos, igualando f’(x) a zero e resolvendo a equação em x. Devem-se incluir também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitui-se esses valores de x na função f(x), obtendo-se assim as coordenadas y dos pontos críticos.
3º- Colocam-se os pontos críticos no gráfico. Estes são os únicos pontos onde os extremos relativos podem existir.
4º- Determina-se onde a função é crescente e decrescente, verificando o sinal da derivada nos intervalos cujos extremos são as coordenadas x dos pontos críticos.
5º- Contrói-se o gráfico de tal forma que “cresça” nos intervalos onde a derivada é positiva e “decresça” nos intervalos onde a derivada é negativa e não “cresça” e nem “decresça” quando a derivada é nula.
EXEMPLO
Construir o gráfico da função f(x) =2x3 +3x2-12x -7
MÁXIMOS E MINÍMOS ABSOLUTOS
Um intervalo fechado é um intervalo da forma a ≤ x ≤ b, que é o intervalo que contem as extremidades. Uma função continua num intervalo fechado possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer nos extremos x=a ou x = b.
EXEMPLOS:
(REPRESENTAR OS MAXIMOS E MINIMOS ABSOLUTOS)
COMO LOCALIZAR E IDENTIFICAR EXTREMOS ABSOLUTOS?
1º- Calculam –se as coordenadas de todos os pontos críticos de f no intervalo a≤ x≤b.
2º - Calcula-se f(x) nesses pontos críticos e nas extremidades x =a e x=b.
3º-Selecionam-se os maiores e menores valores de f(x) obtidos no 2ºpasso e assim se obtém respectivamente o máximo e o mínimo absoluto.
EXEMPLO:
Calcular o máximo e o mínimo absolutos da função f(x) = 2x3 +3x2 -12x -7
OBSERVAÇÃO
Para calcular extremos absolutos de uma função continua em intervalos não fechados deve-se ainda calcular o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo. No entanto, antes é preciso saber que a função realmente possui extremos relativos nesse intervalo. Uma boa maneira de descobrir é verificar através da derivada onde à função é crescente, onde é decrescente e depois construir o gráfico correspondente.
EXEMPLO:
Quando q unidades de certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = 3q2+5q +75. Quando será menor o custo médio de produção por unidade?
Respostas em breve.
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