CÁLCULO I – SEMESTRE A/2011
CURSOS: ENGENHARIAS
PROFESSORA: DRA. ANA CECÍLIA TOGNI
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
DEFINIÇÃO:
A função definida por: f(x) = bx (b > 0 e b≠ 1) é chamada função exponencial de base b e expoente x. O domínio de f é o conjunto dos números reais.
Exemplo:
F(x) = 2x é a função exponencial de base 2. O domínio é o intervalo dado por (- ∞,+∞).
Para alguns valores de x, temos o valor de f(x).
Se x =3 então f(3) = 23 = 8
Se x = -1 então f(-1) = 2-1 = ½
Se x = 2/3 então f(2/3) =22/3 =3√22 = 3√4
Se x = 0 então f(0) = 20 =1
PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
1)bx. by= b x + y
2)bx/by= bx-y
3)(bx)y=bxy
4)(ab)x= axbx
5)(a/b)x= ax/bx
EXERCÍCIOS
1) Encontre os valores das potências em cada caso:
2) Seja f(x) = 22x-1, encontre o valor para f(x) =16.
3) Esboce o gráfico de f(x) =2x e f(x) = (1/2)x nas mesmas coordenadas.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial y =bx com b > 0 e b≠ 1, tem as seguintes propriedades:
1) Seu domínio é (- ∞, + ∞).
2) Sua imagem (0, +∞).
3) Seu gráfico passa pelo ponto (0,1).
4) É uma função contínua em (- ∞, +∞).
5) É crescente em (- ∞, +∞) se b> 0 e decrescente em (-∞, +∞) se 0 < b <1
OBSERVAÇÃO
A função exponencial de base b, pode também ser definida pela expressão f(x) = abx onde a é uma constante.
Poe exemplo: f(x) = 10.2x
FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e
Funções exponenciais de base e são definidas por f(x) = ex, onde e é um número irracional de valor 2, 7182818...
O valor de e é dado pela expressão
e =
O gráfico de ex é semelhante ao gráfico de bx.
4) Considerando que ea=eb, equivale a=b resolva as equações:
a)ex=e6
b)ex+3=e10
c)ex^2.e-2x=e-1
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Definamos primeiramente logaritmo de um número. Ou seja:
y =logb x se e somente se x = by , sendo x > 0.
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) log10 100 =
b) log5 125 =
c)log31/27 =
2) Resolva as equações:
a) log3 x =4
b)log16 4 =x
c)logx8 =3
PROPRIEDADES DOS LOGARÌTMOS:
Se m e n são números positivos então valem:
1) logbm.n= logb m + logb n
2) logbm/n = logbm - logbn
3) logb mn=n logb m
4)logb1 = 0
5) logbb =1
EXERCÍCIO
3) Resolva:
a) log (2.3) =
b) log√7 =
c)ln5/3=
d)log4545=
e)log5 1 =
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO
A função definida por
f(x) = logb x (b>0 e b≠ 1) é chamada função logarítmica de base b e seu domínio é o conjunto dos números reais positivos.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica y =logb x ( b> 0 e b≠ 1) possui as seguintes propriedades:
1)Seu domínio (0, +∞)
2)Sua imagem é (- ∞, +∞)
3)Seu gráfico passa pelo ponto (1,0)
4)Ela é continua em (0, +∞)
5)Ela é crescente em (0,+∞) se b> 1 e decrescente em (0,+∞) quando 0<b<1.
EXERCÍCIO
1)Esboce os gráficos de y = log2x e y = log1/2 x nas mesmas coordenadas.
Uma das aplicações importantes das funções exponenciais e logarítmicas é a matemática financeira, principalmente no que se refere à capitalização composta.
Assim lembramos as fórmulas para cálculo de juros e montante composto.
Juros:
J = C [(1 =i)n-1]
Montante
M = C(1 +i)n onde C- capital inicial
M – Montante
J – Juro
i – Taxa Unitária
n – prazo d operação financeira.
1) Quanto tempo levará para que R$ 10.000,00 se transformem em R$15.000,00 se o investimento for aplicado a 8,% ao ano?
2) Qual a taxa mensal que transforma R$22.500,00 em R$43.000,00 em 18meses?
3) Qual é o valor final de uma aplicação de R$5.500,00 em 4 trimestres, se a taxa trimestral for 6,7%.
4) Em quanto tempo a população de uma cidade dobrará se a taxa de crescimento anual for 2% e a população hoje é de 60.000 habitantes.
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