[CALCULO 1 - UNIVATES] - Técnicas de diferenciação - calcular derivadas

Centro

Universitário UNIVATES

Cursos: Engenharias e Ciências Exatas

Cálculo I – Semestre A/2011

Professora Dra.Ana Cecília Togni

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO

             Alguns teoremas importantes que

permitem que se calcule a derivada de forma mais simples são os seguintes:

T₁) A derivada de uma função constante é
0, isto é, se c for um número real qualquer então: f’(c) = 0.

T₂) (Regra da Potência). Se n for um
número inteiro positivo e f( x) = xⁿ,
então

 f’(x) = n x^n-1

T₃) Se f for diferenciavel
em x e c for um numero real qualquer então cf é
também diferenciável em x e se expressa assim : f’(x)= cf’

T₄) (Derivadas das somas e Diferenças). Se
f e g forem diferenciáveis em x então f+g e f-g também o são ou seja :

[f(x) + g(x) ]’ =f ’(x) + g’(x)

[f(x) – g(x)]’ = f’(x) – g’(x)

T₅) (Regra do Produto) Se f e g forem
diferenciáveis em x então o produto f. g também o é. Ou seja:

[f(x). g(x) ] =f(x).g’(x) + g(x).f’(x)

T₆) (Regra do Quociente) Se f e g forem
diferenciáveis em x e g’(x) for diferente de zero, então f/g é diferenciável em x e:

[f(x)/g(x) =g(x).f’(x)– f(x) g’(x)

                          [g(x)]²

T₇)(Regra do Recíproco) Se a função g for diferenciavel em x e g(x) diferente de zero então 1/g é diferenciavel em x e [1/g(x)]’ = g’(x)

                                                       [g(x)]² 

T₈) Se n for qualquer inteiro, então :

            [xⁿ]’ = nx^n-1

T₉) (Regra da Cadeia) Se g for diferenciavel no ponto x e f for diferenciavel  no ponto g(x), então a composição f e g
também é diferenciavel no ponto x.  Além disso se y = f(g(x)) e u =g(x) então y =
f(u) e

dy = dy . du          ou      f’(u) = y’(u).u’(x)

dx     du   dx

T₁₀)Derivadas de Funções Trigonométricas

i)Se f(x)= sen x   então f’(x) = cosx

ii)Se f(x) = cos x então
f’(x) = - sen x

iii) Se f(x) = tgx x então
f’(x) = sec² x

iV) Se f(x) = sec x então
f’(x)= secx .tgx

v)Sef(x) = cotg x então f’(x) = - cossec² x

vi)Se f(x) = cossec x então
f’(x) = -cossecx.cotgx

vii)Se f(x) = arc senx então f’(x ) = 1 

                                                      √1– x²

viii) Se f(x) = arc cos x então f’(x) = -  1                                                       

                                                            √1 –x² 

ix)Se f(x) = arc tgx então f’(x) =  1                                                

                                                   1 + x²

x) Se f(x) = arc cotg então f’(x) = - 1                                                  

                                                       1 + x²

xi)Se f(x) = arc séc| x | então f’(x) = 1                                                

                                                        x√x² -1

xii)Se f(x) = arc cossec |x| então f’(x) =  -  1

                                                                x√x²-1

Observação:As duas últimas formulas não se referem a
funções elementares, mas  cada uma delas
resume duas funções elementares para x >0 e x<0

T₁₁)Derivadas das Funções logarítmicas

T₁₂)Se f(x)= ln |
x| então f’(x) =  1        para x ≠ 0                                                

                           x

No caso de f(x) ser função composta fica assim: f(x)
= ln u  então
f’(x ) = 1 . du

            u   dx  

T₁₃) Se f(x) =log_a
x    então f’(x) =  1                                               

                          x ln a

No caso de f(x) ser composta fica assim: f(x) = log_a u = 1 .     du

                                                                                             u ln a    dx

T₁₄)Derivada de funções exponenciais

i) Se f(x) = a^x
então f’(x) = a^x.lna

No caso de função composta fica assim: f(x) = a^u então f’(x) = a^u.lna.du

                                                                                                                       dx

   ii) Se f(x)= e^x então f’(x) = e^x

 Quando for
função composta fica assim: f(x) = e^u então f’(x) = e^u.du

                                                                                            dx